总体、样本、参数与统计量

\[ \text{样本统计量}\quad \longrightarrow \quad \text{估计总体参数} \]

案例：松树的平均树龄

研究者在长白山随机设置 500 个 10 公顷样方（\(10^5 米^2\)），测量每个样方内所有松树的树龄。

先明确“要估计什么”

• 样方等权：估计随机一个样方的平均树龄；
• 所有树等权：估计随机一棵树的平均树龄；
• 同一样方内的树共享小尺度的生境，通常不能视为完全独立的重复。

描述统计量回答什么？

样本均值：分布的“重心”

\[ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

• 使用了所有观测值；
• 适合描述大致对称、没有强烈离群值的分布；
• 容易受到极端值影响。

标准差：观测值离均值有多远

\[ s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} \]

• SD 描述的是样本中个体之间的差异；
• SD 越大，观测值通常离均值越远；
• 对极端值敏感，最好与均值一起使用。

正态分布

• 中心极限定理 the central limit theorem
• 高尔顿版 Galton board

正态分布中的经验规则

若数据的分布近似钟形：

• 约 68% 的观测值位于 \(\bar{x}\pm 1 SD\)
• 约 95% 的观测值位于 \(\bar{x}\pm 2 SD\)

中位数：排序后的中间位置

• 将观测值从小到大排序；
• 奇数个观测值：取正中间一个；
• 偶数个观测值：取中间两个的均值；
• 对极端值较稳健。

四分位距：中间一半数据的跨度

\[ IQR=Q_3-Q_1 \]

• \(Q_1\)：第 25 百分位数；
• \(Q_2\)：中位数；
• \(Q_3\)：第 75 百分位数；
• IQR 对极端值较稳健，通常与中位数一起报告。

均值 + SD，还是中位数 + IQR？

变异系数

分类变量：比例

若某类别记为 1，其他类别记为 0，则

\[ \hat p=\frac{\text{该类别的观测数}}{n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

课堂小测：该报告哪些统计量？

1. 湖泊中鱼类体长数据，其频数分布近似对称，无明显离群值；
2. 植物种子数的频数分布严重右偏，少数个体产生几千粒种子；
3. 200 只鸟中感染寄生虫的个体数；
4. 样本的频数分布出现两个明显峰值。

抽样误差、偏差与精确度

• 偏差 bias：估计结果系统性偏离真实参数；
• 精确度 precision：重复抽样得到的估计值有多集中。

大样本能解决什么？

在随机、独立抽样等条件成立时：

• 样本量增大，偶然抽样波动通常减小；
• 估计值通常变得更精确。

思维实验：同一总体反复抽样

什么是抽样分布？

• 样本原始数据分布：个体测量值的分布；
• 抽样分布：（不同样本）统计量（例如 \(\bar X\)）的分布；
• （但）一项真实研究通常只得到其中一个样本、一个 \(\bar x\)。

容易混淆的三个分布

• 总体分布
• 样本分布
• 抽样分布

中心极限定理说了什么？

• 在独立抽样、总体方差有限等条件下，样本量足够大时：

\[ \text{样本均值的抽样分布}\approx\text{正态分布} \]

• 即使原始个体数据并不服从正态分布，这一近似也常常成立。

样本量如何改变抽样分布？

• 抽样分布仍以总体均值 \(\mu\) 为中心；
• \(n\) 增大，分布变窄；
• 因而样本均值通常更接近 \(\mu\)。

游戏互动：先预测，再模拟

保持总体分布不变，把每次抽样的样本量从 10 改为 100：

1. 单个样本中的个体差异会消失吗？
2. 样本均值的中心会移动吗？
3. 样本均值的抽样分布会怎样变化？

标准误：抽样分布的标准差

• 标准误（Standard Error, SE）衡量：
  • 如果重复进行同样的研究，估计值通常会波动多大。
• 对于独立随机样本的均值：

\[ SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n} \qquad\text{实际中常估计为}\qquad \widehat{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n} \]

为什么样本量要增加很多？

\[ SE=\frac{s}{\sqrt n} \]

SD 和 SE 不是同一个量

比例也有标准误

例如，100 株植物中有 40 株患病：

\[ \hat p=0.40 \]

换一批 100 株，\(\hat p\) 通常不会仍恰好等于 0.40。简单随机样本下：

\[ \widehat{SE}(\hat p)\approx \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \]

95% 置信区间

• 置信区间用一个范围表达参数估计的不确定性。常见的近似形式为：

\[ \text{estimate}\ \pm\ \text{临界值}\times SE \]

• 对样本量较大的均值问题：

\[ 95\%\ CI\approx \bar x\pm 2SE \]

95% CI 的含义

哪个解释正确？

得到某次研究的 95% CI 为 \((28.3, 38.3)\)：

A. 总体均值有 95% 的概率位于 28.3 到 38.3 之间。
B. 我们对该区间具有 95% 的置信度；所用方法在重复抽样中约有 95% 的区间覆盖真实均值。
C. 95% 的个体观测值位于 28.3 到 38.3 之间。
D. 下次实验的样本均值有 95% 的概率位于该区间。

CI 的宽度告诉我们什么？

• 窄 CI：估计较精确；
• 宽 CI：与数据相容的参数范围较宽，信息有限；
• CI 宽度受样本量、数据变异和置信水平影响。

• 游戏互动
  • https://www.zoology.ubc.ca/~whitlock/Kingfisher/CIMean.htm

误差线必须有名字

图中的误差线可能表示：

• 均值 \(\pm\) SD：展示个体差异；
• 均值 \(\pm\) SE：展示估计精确度；
• 95% CI：展示参数的不确定性范围。

推荐的展示方式

从图形开始探索数据信息

library(tidyverse)

dat |> 
  ggplot(aes(x = treatment, y = response)) +
  geom_jitter(width = 0.12, alpha = 0.7) +
  geom_boxplot(width = 0.25, outlier.shape = NA) +
  theme_classic()

计算描述统计量

• mean(x, na.rm = T), median(),
• var(), sd(), quantile(), IQR()
• summary()

summary_dat <- dat |>
  group_by(treatment) |>
  summarise(
    n = sum(!is.na(response)),
    mean = mean(response, na.rm = TRUE),
    sd = sd(response, na.rm = TRUE),
    median = median(response, na.rm = TRUE),
    q1 = quantile(response, 0.25, na.rm = TRUE),
    q3 = quantile(response, 0.75, na.rm = TRUE),
    .groups = "drop"
  )

计算均值的 SE 和近似 95% CI

summary_dat <- summary_dat |>
  mutate(
    se = sd / sqrt(n),
    ci_low = mean - qt(0.975, df = n - 1) * se,
    ci_high = mean + qt(0.975, df = n - 1) * se
  )

画原始数据、均值和 95% CI

ggplot(dat, aes(treatment, response)) +
  geom_jitter(width = 0.12, alpha = 0.55) +
  geom_pointrange(
    data = summary_dat,
    aes(y = mean, ymin = ci_low, ymax = ci_high),
    colour = "firebrick", linewidth = 0.8
  ) +
  labs(x = NULL, y = "Response",
       caption = "红点为均值，误差线为 95% CI") +
  theme_classic()

概念链条

• 描述统计量总结当前样本；
• 抽样分布告诉我们换一个样本会发生什么；
• SE 和 CI 则把估计的不确定性量化出来。

自我检查

离开课堂前，请用一句话分别回答：

1. SD 与 SE 的区别是什么？
2. 什么是样本均值的抽样分布？
3. 为什么“95% 的个体位于均值的 95% CI 内”是错误的？
4. 为什么把样本量扩大 4 倍，SE 通常只减半？

作业：读懂论文中的一幅图

选择本学院教师近五年论文中的一幅数据图，说明：

1. 图中报告了什么变量和统计量？
2. 抽样单位和样本量是什么？
3. 误差线表示 SD、SE、CI，还是未说明？
4. 统计量的具体生物学含义是什么？
5. 根据该图可以得出什么结论，又不能得出什么结论？